Zlatý řez je poměr, který je považován za nejdokonalejší a nejharmoničtější od starověku. Tvoří základ mnoha starověkých struktur, od soch po chrámy, a je v přírodě velmi běžný. Zároveň je tento podíl vyjádřen překvapivě elegantními matematickými konstrukcemi.
Instrukce
Krok 1
Zlatý podíl je definován následovně: jedná se o takové rozdělení segmentu na dvě části, že menší část odkazuje na větší stejným způsobem, jako větší část na celý segment.
Krok 2
Pokud je délka celého segmentu brána jako 1 a délka větší části je brána jako x, pak bude hledaný podíl vyjádřen rovnicí:
(1 - x) / x = x / 1.
Vynásobením obou stran poměru x a přenesením členů získáme kvadratickou rovnici:
x ^ 2 + x - 1 = 0.
Krok 3
Rovnice má dva skutečné kořeny, z nichž nás přirozeně zajímá pouze kladný. Rovná se (√5 - 1) / 2, což je přibližně rovna 0 618. Toto číslo vyjadřuje zlatý řez. V matematice se nejčastěji označuje písmenem φ.
Krok 4
Číslo φ má řadu pozoruhodných matematických vlastností. Například i z původní rovnice je vidět, že 1 / φ = φ + 1. Ve skutečnosti 1 / (0, 618) = 1 618.
Krok 5
Dalším způsobem, jak vypočítat zlatý poměr, je použít nekonečný zlomek. Počínaje libovolným x můžete postupně vytvořit zlomek:
X
1 / (x + 1)
1 / (1 / (x + 1) + 1)
1 / (1 / (1 / (x + 1) + 1) +1)
atd.
Krok 6
Abychom usnadnili výpočty, lze tento zlomek představovat jako iterativní postup, při kterém k výpočtu dalšího kroku musíte přidat jeden k výsledku předchozího kroku a vydělit jeden výsledným číslem. Jinými slovy:
x0 = x
x (n + 1) = 1 / (xn + 1).
Tento proces konverguje a jeho limit je φ + 1.
Krok 7
Nahradíme-li výpočet převrácené hodnoty extrakcí druhé odmocniny, tj. Provedeme iterační smyčku:
x0 = x
x (n + 1) = √ (xn + 1), pak výsledek zůstane nezměněn: bez ohledu na původně zvolené x, iterace konvergují k hodnotě φ + 1.
Krok 8
Geometricky lze zlatý řez vytvořit pomocí pravidelného pětiúhelníku. Pokud v něm nakreslíme dvě protínající se úhlopříčky, pak každá z nich bude přesně dělit druhou ve zlatém řezu. Toto pozorování podle legendy patří Pythagorasovi, který byl tak šokován nalezeným vzorem, že považoval správnou pěticípou hvězdu (pentagram) za posvátný božský symbol.
Krok 9
Důvody, proč se právě zlatý řez zdá člověku nejharmoničtější, nejsou známy. Experimenty však opakovaně potvrdily, že subjekty, které byly instruovány k rozdělení segmentu na dvě nerovné části, to nejkrásněji dělají v poměrech velmi blízkých zlatému řezu.
